** Tirage de jetons

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une urne contient \(26\) jetons. Sur chacun est inscrite l’une des lettres \(\text{A}\), \(\text{B}\) ou \(\text{C}\).
Le tableau ci-dessous donne la répartition de ces jetons selon leur lettre.
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Lettre inscrite sur le jeton} &\text{A}&\text{B}&\text{C}\\ \hline \text{Nombre de jetons}&2&6&18 \\ \hline \end{array}\end{align*}\)
Un joueur tire au hasard un jeton de ce sac.
On admet que tous les tirages sont équiprobables.

1. Dans cette question, on note :

• \(P_\text{A}\) la probabilité que ce joueur tire un jeton avec l’inscription \(\text{A}\) ;
  
• \(P_\text{B}\) la probabilité que ce joueur tire un jeton avec l’inscription \(\text{B}\) ;
  
• \(P_\text{C}\) la probabilité que ce joueur tire un jeton avec l’inscription \(\text{C}\).
  

    a. Justifier que \(P_\text{A}=\dfrac{1}{13}\) et que \(P_\text{B}=\dfrac{3}{13}\).
    b. Calculer \(P_\text{C}\).
    c. Justifier que \(P_\text{A}\), \(P_\text{B}\) et \(P_\text{C}\) sont, dans cet ordre, les trois premiers termes d’une suite géométrique dont on précisera la raison.

2. On convient de la règle de jeu suivante :

• un jeton sur lequel est inscrite la lettre \(\text{A}\) fait gagner \(2\) euros ;
  
• un jeton sur lequel est inscrite la lettre \(\text{B}\) ne fait rien gagner ;
  
• un jeton sur lequel est inscrite la lettre \(\text{C}\) fait perdre \(1\) euro.
  

On désigne par \(X\) la variable aléatoire discrète qui à chaque jeton tiré associe le gain du joueur.
    a. Compléter le tableau ci-dessous.
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|} \hline a &-1&0&2 \\ \hline P(X=a) &\\ \hline \end{array}\end{align*}\)
    b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\). On donnera une valeur approchée du résultat à \(0{,}1\) près.